Logaritmo de la unidad imaginaria
El logaritmo de la unidad imaginaria i es la función polivalente
Aquí el logaritmo natural se escribe como log.
Explicación
Un número complejo w se llama un logaritmo de z, así que w = log z, si ew = z.
Hablamos de un logaritmo porque en z hay infinitamente muchos números w que actúan como logaritmos. Se diferencian entre sí por un múltiplo entero de 2πi. Esto se debe a que e2kπ i = 1. Si escribimos z como
z = r · eiφ
con el valor absoluto r y el argumento φ, entonces cada uno de los números
es un logaritmo de z. Es común definir el argumento φ de tal manera que –π < φ ≤ π. El valor del logaritmo para k = 0, se denomina valor principal del logaritmo.
La unidad imaginaria es un número complejo. Porque z = i se encuentra en el círculo unitario con radio r = 1 y un cuarto de círculo girado φ = ½π. El logaritmo de i tiene por lo tanto un valor principal de
log (i) = log (1) + ½πi = ½πi